Por medio de Un
poco de ciencia, por favor, de Ignacio Martil, he conocido ANOTHER DAY IN THE LAB, aquí os dejo este excelente
y documentadísimo artículo sobre el número "Pi". Os recuerdo que hoy es el "día Pi": marzo (3), catorce (14)
(OTRO día en el laboratorio)
Ciencia real contada directamente
desde el laboratorio
14 marzo, 2017 ·
Representación de los primeros 1000 decimales de pi usando Circos, un
software de genómica. (Autores: Cristian Ilies Vasile y Martin Krzywinski).
Hoy es el día π (14 de marzo). A muchos esto no os dirá nada, pero yo voy a celebrarlo igualmente con
una entrada por dos buenas razones.
1. La primera es que es mi número favorito, soy un
πrado.
¿Desde cuándo? No consigo recordarlo. Puede que tuviera 14 o 15 años. Lo
que sé seguro es ese día empecé a hacerme
científico. No entendía qué era ese número, ni entendía por qué era tan importante, y os contaré un secreto: la mayor parte del mundo tampoco lo entiende. Si
preguntas a alguien por la calle qué es π estoy seguro
de que, en el mejor de los casos, te dirá 3.1416. Eso no es π, eso no es
más que una aproximación que nos hacen memorizar de pequeños. Aquel día ese
niño joven e ingenuo que habitaba mi cuerpo quería saber lo que era de verdad.
La
enciclopedia Sopena. Fuente de conocimiento de mi casa antes de que existiera Internet y donde encontré a pi.
Salí decidido de mi habitación hacia la fuente de conocimiento más profunda
de mi casa: la enciclopedia. Sí, una de esas
de papel que era el libro más gordo de la
casa, y que era capaz de responder cualquier pregunta imaginable. Volumen 7.
Con la P… Ajá. Allí empecé mi viaje. Recuerdo como si fuera ayer la brillante definición que encontré:
π es la razón constante entre la longitud
de cualquier circunferencia y su diámetro.
Debí buscar también lo que significa razón, que por suerte estaba en el mismo
volumen =).
Una razón en matemáticas quiere
decir cociente, proporción, fracción.
Qué sencillo había sido, pero qué grande era el misterio que acababa de
descubrir: no importa la circunferencia del Universo que escojas,
no importa si es el plato en el que comes, o el Sol, no importa si es la órbita
de un electrón, o la rueda de tu bici, o una moneda, o una noria… la longitud de la circunferencia siempre
mantiene la misma proporción con el diámetro.
Pi explicado gráficamente. (Fuente: Wikipedia)
Eso ya me pareció algo realmente sorprendente. Hasta entonces nunca había
reparado en que existen ciertas conexiones inevitables en el
Universo. Pero aún me quedé más sorprendido cuando supe que nadie puede decirte cuánto vale π exactamente, porque es un número irracional. Eso me
resultó tremendamente perturbador porque quería decir que π no se puede expresar como una fracción, cuando yo justo acababa de aprender que ¡¡¡π ES
una fracción!!!
La fracción resultante de dividir la longitud y el diámetro de una
circunferencia.
¿Cómo era posible? Tardé un tiempo en darme cuenta de que
la única explicación era que la longitud, o el diámetro, o los dos tienen que
ser también números irracionales. Si tu diámetro es un número natural, tu
longitud no lo será. Si tu longitud es un número natural, tu diámetro no lo
será. No puedes hacer nada para cambiarlo1.
Los números irracionales tienen infinitos decimales y
no hay un patrón en ellos, así que el valor exacto de π no se podrá
saber nunca: por eso la mejor forma
de definirlo es una letra.
Yo me llegué a aprender 50; la NASA, sin embargo, usa sólo 15 decimales2: 3.141592653589793…
El récord actual de decimales calculados anda por los 10 billones y uno de los pasatiempos más habituales es el de encontrar tu DNI, o tu
fecha de nacimiento, o tu número de teléfono entre los decimales de pi.
Páginas como PiSearch o MyPiDay te ayudan a hacerlo. Por ejemplo, el punto de
Feynman3 es una famosa secuencia
de 6 nueves, y está en la posición 762.
El hermoso método de Arquímedes para calcular pi con
más exactitud por medio de polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia.
Pero lo que realmente hace maravilloso al número π, lo que lo
hace especial en matemáticas, lo que asombra a cada persona que aprende sobre
él, es que está ligado
a los problemas y a los fenómenos más inesperados.
Lo que lo hace increíble es cómo, naciendo de una propiedad geométrica extraordinariamente sencilla, puede estar
inexplicablemente unido a tantos problemas de la Ciencia.
Y eso me lleva a la segunda
razón para escribir esta entrada, y es que hace tiempo hice una promesa
sobre curiosidades matemáticas a mi mayor fan.
Creo que hoy es un buen día para cumplirla. Y lo voy a hacer contando dos
de los rincones mágicos de π que más me gusta visitar.
Ø
El
problema de Basilea
En 1644 el matemático Pietro Mengoli propuso determinar
el valor de la serie de los inversos de los cuadrados,
es decir, de:
1 + 1/4
+ 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 +… =?
Leonard Euler
(1707-1783)
El problema se resistió a los famosos Bernoulli, y aunque se sabía que la suma convergía, nadie pudo calcular su valor
exacto hasta que lo hizo el gran Leonard Euler (¡91 años después de proponerse!).
Euler vivía en Basilea y de ahí que el problema tomara el nombre de la ciudad
suiza. La demostración es una verdadera joya matemática,
llena de la brillantez propia de Euler4, y la podéis
degustar aquí, pero como se me hace tarde os diré lo que da:
1 + 1/4
+ 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 +… = π2/6
Sí. No hay circunferencias en este problema ni nada parecido, pero ahí
escondido está π.
¿Por qué existe una relación entre π y la suma
infinita de los inversos de los cuadrados? No lo sé, es un misterio5.
Pero es que ahí no queda todo:
¿Qué relación podría tener π con los números
primos?
Pues elige dos números naturales mayores o iguales que 2, y la probabilidad
de que sean primos entre sí… adivina,
es: 6/π2. =O
No sólo es que esté nuestro maravilloso número π, es que ¡es justo el mismo número del problema de Basilea
invertido! ¿Coincidencia? No importa lo que penséis, sigue siendo algo fascinante.
Ø
El
principio de incertidumbre
Alguien podría pensar que estas relaciones extrañas de π sólo
aparecen en las matemáticas y que π pierde su protagonismo en otras
ciencias, pero no es así.
π juega un papel clave en muchas partes… y habría muchas
ecuaciones de la Física donde hablar de π, pero he
elegido ésta:
Werner
Heisenberg (1901-1976)
¿Os suena? Es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que dice que no se pueden conocer con una precisión arbitraria los valores de magnitudes físicas complementarias como la
posición y el momento de una partícula6.
Y estaréis pensando… yo ahí no veo π por ningún
lado. Y tenéis razón, porque a los físicos nos gusta decorar mucho las
ecuaciones, pero os contaré que ℏ es la constante reducida de Planck, cuyo valor es:
ℏ = h/2π = 1.054571800(13)×10−34 J·s
Voilà. Ahí se esconde π.
¿De dónde aparece? ¿Qué hace π en un principio tan importante de la
Física?
La longitud de onda está relacionada con el momento
lineal de esa onda.
Por no alargar la historia demasiado, iré al grano.
Resulta que una de las lecciones que aprendimos de la mecánica
cuántica es que no hay ni partículas ni ondas, sino que
en realidad lo que existe en la naturaleza
es una mezcla (dualidad):
las ondas de materia.
Ahora bien, el parámetro característico de una onda es su longitud (λ).
(λ): la distancia entre dos picos o dos
valles.
Por ejemplo, una partícula de luz (fotón) verde tiene una longitud de onda de unos 550 nm. Puesto que la longitud de onda es lo que avanza la onda en un periodo, podéis entender que conocerla es como
conocer su velocidad (o su momento).
Louis
de Broglie demostró en
su tesis doctoral (eso es una tesis y no lo que
yo hice) que para determinar el momento de una onda-partícula basta con saber su longitud o, lo que es mejor, su número
de onda (k).
El número de
onda es la unidad
natural porque nos dice cuántas ondas nos caben en un periodo.
Puesto que las ondas están representadas por senos o cosenos, es decir, puesto que nacen de propiedades de la circunferencia, su ciclo natural es la longitud de la circunferencia: 2π.
Y así es como apareció en nuestra vida otra vez. El momento de una onda-partícula
está relacionado con π, lo queramos o no.
Ejemplo de la formación de un paquete de ondas como
suma de muchas ondas.
(Fuente: Hyperphysic
Y ¿por qué existe
incertidumbre?
Lo que ocurre es que para describir una partícula
relativamente bien localizada
en el espacio y en el tiempo no basta con una sola onda.
Una partícula como un electrón puede verse como una superposición (suma) de varias ondas de distintas longitudes;
lo que se llama un paquete de ondas.
De aquí surge el dilema. Una onda tiene su longitud (su momento) perfectamente determinada y su posición totalmente
indeterminada (está en
todos los puntos del espacio en los que se extiende).
Cuando
sumamos ondas estamos aumentado la incertidumbre en su
longitud de onda porque ya no hay una sola onda, sino varias
que conviven con longitudes diferentes. Pero al mismo estamos reduciendo su incertidumbre
espacial porque hay interferencias destructivas donde la onda
suma ya no puede existir. Es decir, que no podemos mejorar una propiedad sin
empeorar la otra. Si no lo creéis os recomiendo este video.
Estos son
sólo dos ejemplos de lo profunda que es la presencia de π en el
universo, pero hay muchos más. Os invito a buscarlos y a descubrirlos por
vuestra cuenta porque…
π no es sólo una colección de dígitos sin orden. π es un viaje, una
experiencia.
A menos que trates de ver la poesía natural que hay en π, te resultará algo muy difícil de aprender. (Antranig Basman)
Notas:
1 En 1897 Edwin J. Goodwin intentó que se aprobara una ley para que π fuera
exactamente igual a 4. El proyecto fue finalmente rechazado. Para los más
curiosos Microsiervos publicó hace poco un interesante artículo sobre casos en los que π puede tener valores distintos.
2 Como explica el ingeniero Marc Rayman de la NASA, la sonda
más distante de la tierra es la Voyager 1. Está a unos 12500 millones de millas (1 milla = 1609.3 m; 20116250 millones de metros). Si asumimos que ése es el radio de la
circunferencia, tomando sólo los 15 primeros decimales de π el error que
se cometería al calcular su perímetro es de 1.5 pulgadas = 38.1 mm
3 Al parecer Feynman tenía la idea de aprender todos los dígitos hasta ese punto, para
decir luego “999999 y así sucesivamente”, la mención más antigua de esto es del
profesor Douglas Hofstadter. Además, esta secuencia se ha hecho famosa porque
la aparición de una serie en tan pocos decimales tiene una probabilidad muy
baja, de 0.08%.
4 Tengo que confesar que siento debilidad por Euler. Mucha gente dice que Gauss es el mayor matemático de todos los tiempos, pero a mi parecer (que es opinable, por supuesto) Euler tenía una
brillantez y capacidad inigualables. La
facilidad de Euler para calcular y memorizar era increíble: podía recitar la
Eneida de memoria, se sabía los 100 primeros números primos, y sus cuadrados y
sus cubos y hasta sus sextas potencias. Aunque se quedó ciego de un ojo a los
28 años, y luego ciego de los dos hacia el final de su vida, eso no le paró.
Calculaba mentalmente y les dictaba a sus hijos (¡tuvo 13!). Su obra ocupa 70
grandes volúmenes, pero más impresionante que su magnitud es la importancia de
todo lo que descubrió. “Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros”.
5 He decidido acortar la explicación porque sería difícil contar en una
línea que π es el responsable de que la
función seno se anule periódicamente y que la factorización infinita de esos
ceros puede identificarse término a término con el desarrollo de Taylor, y que
a orden dos se reduce precisamente a la suma de los inversos de los cuadrados.
6 Es importante recordar que el principio de incertidumbre no tiene nada que ver con el problema de la medida. No es un problema de la
precisión de los aparatos de nuestros laboratorios; es un límite físico inevitable. No importa cuánto mejoremos nuestros instrumentos, nunca podremos superar la
incertidumbre ℏ/2.
febrero
2015No sin mi tesisSuper Science Me
